• Kas yra skaičių sistema?
• Nepozicinės skaičių sistemos
• Pusiau pozicinių skaičių sistemos
• Padėčių skaičių sistemos

Mes paaiškiname, kas yra numeravimo sistema, ir tyrinėjame kiekvieno tipo sistemos ypatybes, pateikdami pavyzdžius iš skirtingų kultūrų.

Kiekvienoje skaičių sistemoje yra tam tikras ir baigtinis simbolių rinkinys.

Kas yra skaičių sistema?

Skaičių sistema yra simbolių ir taisyklių rinkinys, pagal kurį galima išreikšti objektų skaičių skaičiuje. rinkinys, tai yra, per kurį gali būti pavaizduoti visi galiojantys skaičiai. Tai reiškia, kad kiekvienoje skaičių sistemoje yra duotas ir baigtinis simbolių rinkinys bei duotas ir baigtinis taisyklių rinkinys, pagal kurį juos galima sujungti.

Numeravimo sistemos senovėje buvo vienas iš pagrindinių žmogaus išradimų, ir kiekviena iš senovės civilizacijų turėjo savo sistemą, susijusią su jos pasaulio matymo būdu, ty su jo kultūra.

Apskritai numeravimo sistemas galima suskirstyti į tris skirtingus tipus:

• nepozicinės sistemos. Jie yra tie, kuriuose kiekvienas simbolis atitinka fiksuotą reikšmę, neatsižvelgiant į vietą, kurią jis užima skaičiuje (jei jis pasirodo pirmas, vienoje pusėje arba po jo).
• Pusiau pozicinės sistemos. Tai yra tie, kuriuose simbolio reikšmė paprastai būna fiksuota, bet gali būti pakeista tam tikromis išvaizdos situacijomis (nors tai dažniausiai būna išimtys). Ji suprantama kaip tarpinė sistema tarp pozicinio ir nepozicinio.
• Pozicinės arba svertinės sistemos.Tai yra tie, kuriuose simbolio vertę lemia tiek jo paties išraiška, tiek vieta, kurią jis užima skaičiuje, galintis būti vertas daugiau ar mažiau arba išreikšti skirtingas reikšmes, priklausomai nuo to, kur jis yra.

Taip pat galima klasifikuoti numeravimo sistemas pagal skaičių, kurį jos naudoja kaip savo skaičiavimų pagrindą. Taigi, pavyzdžiui, dabartinė vakarietiška sistema yra dešimtainė (nes jos bazė yra 10), o šumerų numeracijos sistema buvo šešaminė (jos bazė buvo 60).

Nepozicinės skaičių sistemos

Nepozicines sistemas buvo lengva išmokti, tačiau reikėjo daugybės simbolių.

Pirmosios egzistavo nepozicinės skaičių sistemos, kurios turėjo primityviausius pagrindus: pirštus, mazgus ant virvės ar kitus skaičių aibių koordinavimo įrašymo būdus. Pavyzdžiui, jei skaičiuojate ant vienos rankos pirštų, tuomet galite suskaičiuoti ant visų rankų.

Šiose sistemose skaitmenys turi savo vertę, neatsižvelgiant į jų vietą simbolių grandinėje, o norint suformuoti naujus simbolius, reikia pridėti simbolių reikšmes (dėl šios priežasties jie taip pat žinomi kaip adityvinės sistemos). Šios sistemos buvo paprastos, lengvai išmokstamos, tačiau norint išreikšti didelius kiekius reikėjo daugybės simbolių, todėl jos nebuvo visiškai veiksmingos.

Šių tipų sistemų pavyzdžiai:

• Egipto skaičių sistema. Atsirado apie trečiąjį tūkstantmetį prieš Kristų. C., buvo pagrįstas dešimtuku ir naudojamas hieroglifai kiekvienai vienetų eilei skirtinga: vienas vienetui, vienas dešimtiui, vienas šimtui ir taip toliau iki milijono.
• Actekų skaičių sistema. Būdinga Meksikos imperijai, jos pagrindas buvo 20, o kaip simboliai naudojami tam tikri objektai: vėliava prilygo 20 vienetų, plunksna ar keli plaukai prilygo 400, krepšys ar maišas prilygo 8000 ir kt.
• Graikijos skaičių sistema.Konkrečiai Jonijos, buvo išrastas ir paplitęs rytinėje Viduržemio jūros dalyje nuo IV amžiaus prieš Kristų. C., pakeičiantis jau egzistuojančią akrofoninę sistemą. Tai buvo abėcėlinė sistema, kuri naudojo raides skaičiams reikšti, suderindama raidę su pagrindine jos vieta abėcėlėje (A=1, B=2). Taigi kiekvienam skaičiui nuo 1 iki 9 buvo priskirta raidė, kiekvienam dešimtiui – kita konkreti raidė, šimtas – kita, kol buvo panaudotos 27 raidės: 24 graikų abėcėlės ir trys specialieji simboliai.

Pusiau pozicinių skaičių sistemos

Pusiau pozicinės sistemos atitiko labiau išsivysčiusios ekonomikos poreikius.

Pusiau pozicinės skaičių sistemos sujungia kiekvieno simbolio fiksuotos reikšmės sąvoką su tam tikromis padėties nustatymo taisyklėmis, todėl jas galima suprasti kaip hibridinę arba mišrią sistemą tarp pozicinio ir nepozicinio. Jie naudojasi galimybėmis pavaizduoti didelius skaičius, valdyti skaičių tvarką ir formalias procedūras, tokias kaip daugyba, todėl jos yra sudėtingumo žingsnis į priekį, palyginti su nepozicinėmis sistemomis.

Daugeliu atvejų pusiau pozicinių sistemų atsiradimas gali būti suprantamas kaip perėjimas prie efektyvesnio numeravimo modelio, kuris galėtų patenkinti sudėtingesnius labiau išsivysčiusios ekonomikos, pavyzdžiui, didžiųjų klasikinės antikos imperijų, poreikius.

Šio numeravimo modelio pavyzdžiai:

• Romėniškų skaičių sistema. Sukurtas romėnų senovėje, išlikęs iki šių dienų. Šioje sistemoje figūros buvo sudarytos naudojant tam tikras lotyniškos abėcėlės didžiąsias raides (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50 ir kt.), kurių reikšmė buvo fiksuota ir valdoma sudėjus ir atimant, atsižvelgiant į kur rodomas simbolis.Jei simbolis buvo kairėje nuo vienodos ar mažesnės reikšmės simbolio (kaip II = 2 arba XI = 11), reikia pridėti bendrąsias vertes; o jei simbolis buvo didesnės reikšmės simbolio kairėje (kaip IX = 9 arba IV = 4), juos reikėjo atimti.
• Klasikinė kinų skaičių sistema. Jo ištakos siekia maždaug 1500 m. pr. Kr. C. ir yra labai griežta vertikalaus skaičių vaizdavimo per savo simbolius sistema, jungianti dvi skirtingas sistemas: vieną šnekamajai ir kasdienei rašymui, kitą – komerciniams ar finansiniams įrašams. Tai buvo dešimtainė sistema, turinti devynis skirtingus ženklus, kuriuos buvo galima sudėti vienas šalia kito, kad būtų pridėtos jų reikšmės, kartais įterpiant specialų ženklą arba kaitaliojant ženklų vietą, nurodant konkrečią operaciją.

Padėčių skaičių sistemos

Dabartinė numeravimo sistema kilusi iš indų ir arabų kalbos.

Pozicinių skaičių sistemos yra sudėtingiausios ir veiksmingiausios iš trijų egzistuojančių skaičių sistemų tipų. Tinkamos simbolių vertės ir jų padėties priskiriamos vertės derinys leidžia jiems sukurti labai aukštas figūras su labai mažais simboliais, pridedant ir (arba) padauginant kiekvieno jų vertę, todėl jos yra universalesnės ir modernesnės.

Paprastai pozicinėse sistemose naudojamas fiksuotas simbolių rinkinys ir per jų derinį sukuriamos likusios galimos figūros ad infinitum, nereikia kurti naujų ženklų, o atidarant naujas simbolių stulpelius. Žinoma, tai reiškia, kad klaida eilutėje taip pat pakeičia bendrą skaičiaus reikšmę.

Pirmieji tokio tipo sistemų pavyzdžiai atsirado didžiosiose imperijose arba kultūros ir komerciniams reikalams labiausiai reikalaujančiose senovės kultūrose, pavyzdžiui, antrojo tūkstantmečio prieš Kristų Babilono imperijoje. C. Šio tipo numeravimo sistemos pavyzdžiai:

• Šiuolaikinė dešimtainė sistema.Naudojant tik skaitmenis nuo 0 iki 9, galite sudaryti bet kokį įmanomą skaičių, pridedant stulpelius, kurių vertė pridedama judant į dešinę, o dešimtukas yra pagrindas. Taigi, pridėję simbolius prie 1, galime sukurti 10, 195, 1958 arba 19589. Svarbu paaiškinti, kad naudojami simboliai yra kilę iš indų-arabiškų skaitmenų.
• Indų ir arabų skaičių sistema. Sugalvotas senovės Indijos išminčių, o vėliau paveldėtas arabų musulmonų, jis pasiekė Vakarus per Al-Andalusą ir galiausiai pakeitė Romėniški skaitmenys tradicinis. Šioje sistemoje, panašiai kaip ir šiuolaikinėje dešimtainėje sistemoje, vienetai nuo 0 iki 9 yra pavaizduoti specifiniais glifais, kurie atvaizdavo kiekvieno vertę linijomis ir kampais. Šios sistemos veikimo sistema iš esmės yra tokia pati kaip šiuolaikinės vakarietiškos dešimtainės sistemos.
• Majų skaičių sistema. Jis buvo sukurtas matuoti laiką, o ne atlikti matematines operacijas, o jo pagrindas buvo ryškus, o simboliai atitinka šios ikikolumbinės civilizacijos kalendorių. Figūros, sugrupuotos po 20 po 20, vaizduojamos pagrindiniais ženklais (juostelėmis, taškais ir sraigėmis ar kriauklėmis); o norint pereiti prie kito balo, kitame rašymo lygyje pridedamas taškas. Be to, Majai jie vieni pirmųjų panaudojo skaičių nulį.